Даны векторы \overrightarrow{a}(-\sqrt{151}; 7) и \overrightarrow{b}(\sqrt{151}; 7). Найдите косинус угла между ними.
Решение
Скалярное произведение векторов равняется произведению их длин на косинус угла между ними:
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|} \cdot \cos \alpha.Выведем косинус угла между векторами:
\displaystyle \cos \alpha=\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|}}.В числителе у нас получилось скалярное произведение в координатах, а в знаменателе произведение длин векторов.
Скалярное произведение двух векторов \overrightarrow{a}(x_1; y_1) и \overrightarrow{b}(x_2; y_2) равняется \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=x_1 x_2 + y_1 y_2.
Найдем скалярное произведение:
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=-\sqrt{151} \cdot \sqrt{151} + 7 \cdot 7 =-151+49=-102.Длина вектора \overrightarrow{a} (x;y) вычисляется по формуле |\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^2+y^2}.
Найдем произведение длин векторов:
|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|=\sqrt{(-\sqrt{151})^2 + 7^2} \cdot \sqrt{(\sqrt{151})^2 + 7^2} =\sqrt{200} \cdot \sqrt{200}=\sqrt{40000}=200.Найдем косинус угла между векторами:
\displaystyle \cos \alpha=-\frac{102}{200}=-0,51.Ответ: -0,51.
Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509833)