Длина вектора \overrightarrow{a} равна 6 \sqrt{2}, угол между векторами \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} равен 45^{\circ}, а скалярное произведение \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} равно 18. Найдите длину вектора \overrightarrow{b}.
Решение
Скалярное произведение векторов равняется произведению их длин на косинус угла между ними:
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|} \cdot \cos \alpha.Выведем длину вектора \overrightarrow{b}:
\displaystyle \overrightarrow{|b|}= \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{|a|} \cdot \cos \alpha}.Подставим известные значения в формулу и найдем длину вектора \overrightarrow{b}:
\displaystyle \overrightarrow{|b|}= \frac{18}{6 \sqrt{2} \cdot \cos 45^{\circ}}=\frac{18}{6 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{18}{6}=3.Ответ: 3.
Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509849)