Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основания BC и AD пересекаются в точке O, BC=4, AD=9, AC=26. Найдите AO.
Решение
Треугольники AOD и BOC подобны по первому признаку подобия — если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого:
\angle AOD=\angle BOC как вертикальные углы; \angle DAO=\angle BCO как накрест лежащие углы при параллельных прямых (BCD параллельна AD, т.к. ABCD трапеция) и секущей AC.У подобных треугольников соответственные стороны пропорциональны. Значит, можно записать:
Найдем CO=AC-AO=26-AO.
\displaystyle \frac{AD}{BC}=\frac{AO}{CO}; \displaystyle \frac{9}{4}=\frac{AO}{CO}.Отсюда:
\displaystyle \frac{9}{4}=\frac{AO}{26-AO}; 4AO=9 \cdot (26-AO); 4AO=234-9AO; 4AO+9AO=234; 13AO=494; AO=18.Ответ: 18.
Источник: ОГЭ-2024. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 30) (Решебник)