Длины векторов \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} равны 13 и 5\sqrt{2}, а угол между ними равен 45^{\circ}. Найдите скалярное произведение \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}.
Решение
Скалярное произведение векторов равняется произведению их длин на косинус угла между ними:
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|} \cdot \cos \alpha.Подставим известные значения в формулу и найдем скалярное произведение вектров:
\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 5\sqrt{2} \cdot 13 \cdot \cos 45^{\circ}=65\sqrt{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=65 \cdot 2 \div 2=65.Ответ: 65.
Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509786)