Даны векторы \overrightarrow{a}(3; \sqrt{11}) и \overrightarrow{b}(3; -\sqrt{11}). Найдите косинус угла между ними.
Решение
Скалярное произведение векторов равняется произведению их длин на косинус угла между ними:
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|} \cdot \cos \alpha.Выведем косинус угла между векторами:
\displaystyle \cos \alpha=\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|}}.В числителе у нас получилось скалярное произведение в координатах, а в знаменателе произведение длин векторов.
Скалярное произведение двух векторов \overrightarrow{a}(x_1; y_1) и \overrightarrow{b}(x_2; y_2) равняется \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=x_1 x_2 + y_1 y_2.
Найдем скалярное произведение:
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=3 \cdot 3+ \sqrt{11} \cdot (-\sqrt{11})=9-11=-2.Длина вектора \overrightarrow{a} (x;y) вычисляется по формуле |\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^2+y^2}.
Найдем произведение длин векторов:
|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|=\sqrt{3^2+ (\sqrt{11})^2} \cdot \sqrt{3^2+(-\sqrt{11})^2}=\sqrt{20} \cdot \sqrt{20}=\sqrt{400}=20.Найдем косинус угла между векторами:
\displaystyle \cos \alpha=\frac{-2}{20}=-0,1.Ответ: -0,1.
Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509817)