Даны векторы \overrightarrow{a}(2\sqrt{2}; \sqrt{17}) и \overrightarrow{b}(-2\sqrt{2}; \sqrt{17}). Найдите косинус угла между ними.
Решение
Скалярное произведение векторов равняется произведению их длин на косинус угла между ними:
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|} \cdot \cos \alpha.Выведем косинус угла между векторами:
\displaystyle \cos \alpha=\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|}}.В числителе у нас получилось скалярное произведение в координатах, а в знаменателе произведение длин векторов.
Скалярное произведение двух векторов \overrightarrow{a}(x_1; y_1) и \overrightarrow{b}(x_2; y_2) равняется \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=x_1 x_2 + y_1 y_2.
Найдем скалярное произведение:
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=2\sqrt{2} \cdot (-2\sqrt{2}) + \sqrt{17} \cdot \sqrt{17} =-8+17=9.Длина вектора \overrightarrow{a} (x;y) вычисляется по формуле |\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^2+y^2}.
Найдем произведение длин векторов:
|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|=\sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (\sqrt{17})^2} \cdot \sqrt{(-2\sqrt{2})^2 + (\sqrt{17})^2} =\sqrt{25} \cdot \sqrt{25}=\sqrt{625}=25.Найдем косинус угла между векторами:
\displaystyle \cos \alpha=\frac{9}{25}=0,36.Ответ: 0,36.
Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509842)