Длина вектора \overrightarrow{a} равна 13 \sqrt{3}, угол между векторами \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} равен 30^{\circ}, а скалярное произведение \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} равно 78. Найдите длину вектора \overrightarrow{b}.
Решение
Скалярное произведение векторов равняется произведению их длин на косинус угла между ними:
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|} \cdot \cos \alpha.Выведем длину вектора \overrightarrow{b}:
\displaystyle \overrightarrow{|b|}= \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{|a|} \cdot \cos \alpha}.Подставим известные значения в формулу и найдем длину вектора \overrightarrow{b}:
\displaystyle \overrightarrow{|b|}= \frac{78}{13 \sqrt{3} \cdot \cos 30^{\circ}}=\frac{78}{13 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{78}{\frac{13 \cdot 3}{2}}=4.Ответ: 4.
Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509861)