Длина вектора \overrightarrow{a} равна 20, угол между векторами \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} равен 120^{\circ}, а скалярное произведение \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} равно -84. Найдите длину вектора \overrightarrow{b}.
Решение
Скалярное произведение векторов равняется произведению их длин на косинус угла между ними:
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|} \cdot \cos \alpha.Выведем длину вектора \overrightarrow{b}:
\displaystyle \overrightarrow{|b|}= \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{|a|} \cdot \cos \alpha}.Подставим известные значения в формулу и найдем длину вектора \overrightarrow{b}:
\displaystyle \overrightarrow{|b|}= \frac{-84}{20 \cdot \cos 120^{\circ}}= \frac{-84}{20 \cdot -\frac{1}{2}}= \frac{84}{10}=8,4.Ответ: 8,4.
Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509882)