Длина вектора \overrightarrow{a} равна 56, угол между векторами \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} равен 120^{\circ}, а скалярное произведение \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} равно -98. Найдите длину вектора \overrightarrow{b}.
Решение
Скалярное произведение векторов равняется произведению их длин на косинус угла между ними:
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|} \cdot \cos \alpha.Выведем длину вектора \overrightarrow{b}:
\displaystyle \overrightarrow{|b|}= \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{|a|} \cdot \cos \alpha}.Подставим известные значения в формулу и найдем длину вектора \overrightarrow{b}:
\displaystyle \overrightarrow{|b|}= \frac{-98}{56 \cdot \cos 120^{\circ}}= \frac{-98}{56 \cdot -\frac{1}{2}}= \frac{98}{28}=3,5.Ответ: 3,5.
Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509884)