Две подруги, Наташа и Маша, задумались о том, как рассчитать площадь поверхности зонта.
На первый взгляд зонт кажется круглым, а его купол напоминает часть сферы (сферический сегмент). Но если присмотреться, то видно, что купол зонта состоит из восьми отдельных клиньев, натянутых на каркас из восьми спиц (рис. 1). Сферическая форма в раскрытом состоянии достигается за счёт гибкости спиц и эластичности ткани.
Наташа и Маша измерили расстояние между концами соседних спиц а. Оно оказалось равно 46 см. Высота купола зонта h (рис. 2) оказалась равна 26 см, а расстояние d между концам противоположных спиц равно 104 см.
Задание 3: Маша предположила, что купол зонта имеет форму сферического сегмента. Вычислите радиус R сферы купола, зная, что OC=R. Ответ дайте в сантиметрах.
Решение
Введем обозначения:
Треугольник AOB — равнобедренный, т.к. AO=BO=R. Значит, углы при основании равны \angle OAD = \angle OBD.
OC является медианой, т.к. данный отрезок является основной осью зонта и проводится ровно в центр купола. Значит, OB является медианой, высотой и биссектрисой. Значит, \angle ADO=\angle BDO=90^{\circ}.
Получается, что треугольник ADO равен треугольнику BDO по гипотенузе и острому углу.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ADO. Найдем длину AD, она равняется половине расстояния d:
\displaystyle AD=\frac{d}{2}=\frac{104}{2}=52.Найдем OC:
OD=OC-h=R-26.Найдем OA по теореме Пифагора:
AO^2=AD^2+OD^2; R^2=52^2+(R-26)^2; R^2=2704+R^2-52R+676; 52R=3380; R=65.Получилось, что радиус сферы купола равен 65 см.
Ответ: 65.
Источник: ОГЭ 2025. Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ. Ященко И. В. (вариант 7) (Решебник)