На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 72°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Решение
Дорисуем треугольник:
Основное свойство центрального угла гласит: градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается, т.е. ∠AOB=72^{\circ}.
Треугольник AOB — равнобедренный, т.к. AO=BO=r. Сумма углов в треугольнике равна 180^{\circ}, а т.к. треугольник равнобедренный, то углы при основании равны и третий угол нам известен. Найдем угол ABC:
\angle BOA+\angle OAB+\angle ABO=180^{\circ}; 72^{\circ}+\angle OAB+\angle ABO=180^{\circ}; \angle OAB+\angle ABO=180^{\circ}-72^{\circ}; \angle OAB+\angle ABO=108^{\circ}.Отсюда \angle OAB=\angle ABO=108^{\circ} \div 2=54^{\circ}.
Радиус OB пересекает касательную под прямым углом, т.е. \angle OBC=90^{\circ}.
Найдем угол ABC:
\angle ABC=\angle OBC-\angle OBA=90^{\circ}-54^{\circ}=36^{\circ}.Ответ: 36.
Источник: ОГЭ 2025. Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ. Ященко И. В. (вариант 48) (Решебник)