Список заданий викторины состоял из 33 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 12 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 70 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?
Решение
Пусть x – количество правильных ответов, y – количество неправильных ответов (причем y≥1, т.к. известно, что ученик хотя бы один раз ошибся) и z – количество заданий без ответа. Тогда можно составить первое уравнение:
x+y+z=33.
Т.к. за каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный списывали 12 очков, а если не отвечал, то давали 0 очков. То можно составить уравнение:
7x-12y+0z=70 (т.к. ученик набрал 70 баллов).
-12y=70-7x.
Т.к. правая часть уравнения 70−7x делится на 7, то и левая часть -12y должна делиться на 7. Предположим, что y=7, тогда получим:
-12⋅7=70−7x;
x=22.
Подставим x в первое уравнение:
22+7+z=33;
z=4.
Предположим, что y=14, тогда получим:
-12⋅14=70-7x;
x=34 – противоречит, т.к. всего 33 вопроса. Значит, дальше считать нет смысла. Получается, что ученик дал 22 верных ответа.
Ответ: 22.
Источник: ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 14 вариантов заданий. (вариант №11) (Купить книгу)