Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника ABC в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если АК = 18, а сторона АС в 1,2 раза больше стороны ВС.
Решение
Нарисуем условие:
Пусть BC=x, тогда AC=1,2x.
Рассмотрим четырехугольник CPKB. У четырехугольника сумма противоположных углов равна 180^{\circ}:
\angle C+\angle K=180^{\circ} и \angle B+\angle P=180^{\circ}.
Пусть \angle C=y^{\circ}, тогда \angle PKB=180^{\circ}-y^{\circ}.
\angle AKP и \angle PKB — смежные и их сумма равна 180^{\circ}. Можно найти \angle AKP:
\angle AKP+\angle PKB=180^{\circ};
\angle AKP+180^{\circ}-y^{\circ}=180^{\circ};
\angle AKP=y^{\circ}.
Получилось, что \angle AKP=\angle C.
Треугольник ABC подобен треугольнику APK по двум углам:
— \angle A — общий;
— \angle AKP=\angle C.
У подобных треугольников стороны пропорциональны:
\displaystyle \frac{AC}{AK}=\frac{CB}{KP};
\displaystyle \frac{1,2x}{18}=\frac{x}{KP};
18x=1,2x \cdot KP;
KP=15.
Ответ: 15.
Источник: ОГЭ 2025. Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ. Ященко И. В. (вариант 21) (Решебник)