Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника ABC в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если АP = 30, а сторона BС в 1,2 раза меньше стороны AB.
Решение
Нарисуем условие:
Пусть AB=x, тогда \displaystyle BC=\frac{x}{1,2}.
Рассмотрим четырехугольник CPKB. У четырехугольника сумма противоположных углов равна 180^{\circ}:
\angle C+\angle K=180^{\circ} и \angle B+\angle P=180^{\circ}.
Пусть \angle C=y^{\circ}, тогда \angle PKB=180^{\circ}-y^{\circ}.
\angle AKP и \angle PKB — смежные и их сумма равна 180^{\circ}. Можно найти \angle AKP:
\angle AKP+\angle PKB=180^{\circ};
\angle AKP+180^{\circ}-y^{\circ}=180^{\circ};
\angle AKP=y^{\circ}.
Получилось, что \angle AKP=\angle C.
Треугольник ABC подобен треугольнику APK по двум углам:
— \angle A — общий;
— \angle AKP=\angle C.
У подобны треугольников стороны пропорциональны:
\displaystyle \frac{AB}{AP}=\frac{CB}{KP};
\displaystyle \frac{x}{30}=\frac{\frac{x}{1,2}}{KP};
\displaystyle 30 \cdot \frac{x}{1,2}=KP \cdot x;
\displaystyle 25x=KP \cdot x;
KP=25.
Ответ: 25.
Источник: ОГЭ 2025. Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ. Ященко И. В. (вариант 23) (Решебник)