Найдите точку минимума функции y=(x+8)^2 \cdot e^{-x-3} .
Решение
Найдем производную функции, для этого применим следующие правила дифференцирования (uv)'=u'v+uv' и (e^u)'=e^u u':
\displaystyle y'=((x+8)^2)' \cdot e^{-x-3}+(x+8)^2 \cdot (e^{-x-3})'= \displaystyle 2(x+8) \cdot e^{-x-3}+(x+8)^2 \cdot (-e^{-x-3})= \displaystyle e^{-x-3}(2x+16-(x^2+16x+64))= \displaystyle e^{-x-3}(-x^2-14x-48)).Найдем точки экстремума функции, для этого приравняем производную функции к нулю:
\displaystyle e^{-x-3}(-x^2-14x-48))=0; e^{-x-3}=0 или -x^2-14x-48=0 e^{-x-3}=0 — всегда больше нуля. -x^2-14x-48=0; D=b^2-4ac=196-4\cdot-1\cdot-48=4; \displaystyle x_1=\frac{14-2}{-2}=-6; \displaystyle x_1=\frac{14+2}{-2}=-8.Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Точка минимума — точка, где производная меняет свой знак с минуса на плюс. В нашем случае точка минимума -8.
Ответ: -8.
Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 30) (Купить книгу)