Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 4. Найдите высоту этого треугольника.
Решение
Центр вписанной в треугольник окружности — точка пересечения его биссектрис. А в равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы и высоты совпадают
А в равностороннем треугольнике высоты точкой пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины. Получается, что каждая высота состоит из 2+1=3 частей.
Получается, что высота BH состоит из 3 частей. При этом, одну часть мы знаем, она равняется радиусу (расстояние от центра вписанной окружности до точки касания её со стороной треугольника равно радиусу). Соответственно, три части равняется 4 \cdot 3=12.
Получается, что высота равностороннего треугольника равна 12.
Ответ: 12.
Источник: ОГЭ-2024. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 20) (Решебник)