Длины векторов \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} равны 3 \sqrt{7} и 4 \sqrt{21}, а угол между ними равен 150^{\circ}. Найдите скалярное произведение \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}.
Решение
Скалярное произведение векторов равняется произведению их длин на косинус угла между ними:
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|} \cdot \cos \alpha.Подставим известные значения в формулу и найдем скалярное произведение векторов:
\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3 \sqrt{7} \cdot 4 \sqrt{21} \cdot \cos 150^{\circ}=12 \sqrt{147} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-12 \cdot \sqrt{441} \div 2=-126.Ответ: -126.
Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509804)