Длины векторов \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} равны 5 \sqrt{128} и 11, а угол между ними равен 45^{\circ}. Найдите скалярное произведение \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}.
Решение
Скалярное произведение векторов равняется произведению их длин на косинус угла между ними:
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|} \cdot \cos \alpha.Подставим известные значения в формулу и найдем скалярное произведение векторов:
\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 11 \cdot 5 \sqrt{128} \cdot \cos 45^{\circ}=55 \sqrt{128} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=55 \cdot \sqrt{256} \div 2=440.Ответ: 440.
Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509803)