Длины векторов \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} равны 9 \sqrt{32} и 3, а угол между ними равен 135^{\circ}. Найдите скалярное произведение \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}.
Решение
Скалярное произведение векторов равняется произведению их длин на косинус угла между ними:
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|} \cdot \cos \alpha.Подставим известные значения в формулу и найдем скалярное произведение векторов:
\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3 \cdot 9 \sqrt{32} \cdot \cos 135^{\circ}=27 \sqrt{32} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-27 \cdot \sqrt{64} \div 2=-108.Ответ: -108.
Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509802)