ФИПИ опубликовал проект демонстрационного варианта контрольных измерительных материалов ЕГЭ 2027 года по математике профильного уровня. На этой странице собраны задания демоверсии с подробными решениями: каждое решение открывается по ссылке, ответы к первой части сведены в таблицу ниже.
Пока документ имеет статус проекта. Когда ФИПИ утвердит окончательный вариант, мы сверим с ним условия и ответы и обновим страницу.
Структура экзамена в 2027 году
Экзаменационная работа состоит из двух частей и включает 20 заданий. Часть 1 содержит 13 заданий с кратким ответом, часть 2 — 7 заданий с развёрнутым ответом. На выполнение работы отводится 3 часа 55 минут (235 минут).
Что изменилось по сравнению с прошлым годом
- Заданий стало 20 вместо 19.
- Задание 6 — новое: числовые характеристики случайных величин (в демоверсии нужно найти математическое ожидание выигрыша в лотерее).
- Задача по финансовой математике перешла в первую часть: теперь это задание 13 с кратким ответом.
- Задание 17 — новое задание с развёрнутым ответом: прикладная задача, в которой нужно составить функцию и исследовать её на наибольшее значение.
- Из первой части исключено задание на исследование функции с помощью производной (поиск точек экстремума, наибольшего и наименьшего значений).
Задания демоверсии с решениями
Задание 1. Планиметрия
- В четырёхугольник ABCD, периметр которого равен 22, вписана окружность, AB = 8. Найдите длину стороны CD
- Площадь треугольника ABC равна 60, DE — средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED
- В треугольнике ABC угол C равен 54°, AD — биссектриса, угол BAD равен 23°. Найдите величину угла ADB
Задание 2. Векторы
- Даны векторы a(2; 2) и b(2; −2). Найдите длину вектора 7a + b
- Даны векторы a(5; 3) и b(4; −6). Найдите скалярное произведение a · b
Задание 3. Стереометрия
- Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой призмы равна 18
- В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AB = 9, BC = 6, AA1 = 5. Найдите объём многогранника с вершинами A, B, C, B1
- Цилиндр, объём которого равен 18, описан около шара. Найдите объём шара
Задание 4. Начала теории вероятностей
- В сборнике билетов по химии всего 80 билетов, в 56 из них встречается вопрос по теме «Углеводороды». Найдите вероятность того, что в билете не достанется этот вопрос
- Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94
- В соревнованиях по толканию ядра участвуют спортсмены из четырёх стран: 14 из Аргентины, 10 из Бразилии, 15 из Парагвая и 11 из Уругвая
Задание 5. Вероятности сложных событий
- Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,9
- Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,2
- При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Вероятность того, что её масса окажется меньше 810 г, равна 0,96
Задание 6. Случайные величины
Задание 7. Простейшие уравнения
- Найдите корень уравнения 4^(x−4) = 64
- Найдите корень уравнения √(99 − 7x) = 6
- Найдите корень уравнения log₈(5x + 47) = 3
Задание 8. Вычисления и преобразования
- Найдите значение выражения 3sin164° / (sin82° · sin8°)
- Найдите значение выражения log₀,₆ 50 − log₀,₆ 18
- Найдите значение выражения 25^(2√8+3) · 5^(−3−4√8)
Задание 10. Прикладные задачи
- Автомобиль, движущийся со скоростью v₀ = 15 м/с, начал торможение с постоянным ускорением a = 2 м/с². Определите время, за которое он проехал 36 метров
- В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора C = 8·10⁻⁶ Ф. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 180 секунд
- Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a. Скорость вычисляется по формуле v = √(2la). Найдите ускорение
Задание 11. Текстовые задачи
- Два велосипедиста одновременно отправились в 90-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 5 км/ч большей, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго
- Смешав 45%-й и 97%-й растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62%-й раствор кислоты
- Заказ на изготовление 112 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий?
Задание 13. Финансовая математика
Задание 14. Уравнения
- а) Решите уравнение cos2x + √2cos(x + π) + 1 = 0. б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [−4π; −5π/2]
- а) Решите уравнение 4cos(x + π/4) + 2√2cos(π − x) = 2. б) Найдите корни, принадлежащие отрезку [17π/2; 10π]
Задание 16. Неравенства
- Решите неравенство 2^(log₂(log₂x)) + log₄²x − 3 ≤ 0
- Решите неравенство 2·8^(x−1) / (2·8^(x−1) − 1) ≥ 3/(8^x − 1) + 8/(64^x − 5·8^x + 4)
Задание 17. Прикладная задача на оптимизацию
- На заводе имеется генератор с ЭДС ε = 50 В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом. Какова максимальная тепловая мощность, которая может быть выделена нагрузкой?
- Амплитуда вынужденных колебаний корабля при качке на волнении выражается формулой. При каком периоде волны амплитуда будет наибольшей?
Задание 19. Задача с параметром
Задание 20. Числа и их свойства
- Есть 16 монет по 2 рубля и 29 монет по 5 рублей. Можно ли этими монетами набрать сумму 175 рублей? 176 рублей?
- На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного. Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?
В демоверсии к большинству заданий приведено несколько примеров через «ИЛИ»: на экзамене на этой позиции может встретиться любой из таких типов задач. Решения заданий с чертежами и графиками (9, 12, 15, 18) мы добавим на эту страницу отдельно.
Ответы к заданиям 1–13
| Задание | Пример 1 | Пример 2 | Пример 3 |
| 1 | 3 | 45 | 77 |
| 2 | 12 | 20 | 2 |
| 3 | 36 | 45 | 12 |
| 4 | 0,3 | 0,38 | 0,2 |
| 5 | 0,0081 | 0,23 | 0,78 |
| 6 | 55 | ||
| 7 | 7 | 9 | 93 |
| 8 | 6 | −2 | 125 |
| 9 | 1 | 3 | −0,2 |
| 10 | 3 | 7 | 24 000 |
| 11 | 15 | 15 | 14 |
| 12 | 0,5 | 6 | 64 |
| 13 | 259 200 |
Источник: проект демонстрационного варианта КИМ ЕГЭ 2027 года по математике (профильный уровень), опубликованный на официальном сайте ФИПИ — fipi.ru, раздел «Демоверсии, спецификации, кодификаторы».