Есть 16 монет по 2 рубля и 29 монет по 5 рублей.
а) Можно ли этими монетами набрать сумму 175 рублей?
б) Можно ли этими монетами набрать сумму 176 рублей?
в) Какое наименьшее количество монет, каждая по 1 рублю, нужно добавить, чтобы иметь возможность набрать любую целую сумму от 1 рубля до 180 рублей включительно?
Решение
а) Да, можно. Возьмём все 29 монет по 5 рублей — это 145 рублей. Остаётся набрать 30 рублей, для этого хватит 15 монет по 2 рубля:
29\cdot 5+15\cdot 2=145+30=175.
б) Нет, нельзя. Сумма монет по 2 рубля всегда чётна, а число 176 чётное, поэтому сумма, набранная пятирублёвыми монетами, тоже должна быть чётной. Значит, пятирублёвых монет нужно взять чётное количество, то есть не больше 28, и они дадут не больше 28\cdot 5=140 рублей.
Тогда двухрублёвыми монетами нужно набрать не меньше 176-140=36 рублей. Но все 16 монет по 2 рубля дают только 32 рубля. Противоречие.
в) Все имеющиеся монеты вместе дают
16\cdot 2+29\cdot 5=32+145=177\ \text{рублей}.
Чтобы набрать 180 рублей, не хватает 3 рублей, поэтому нужно добавить не меньше трёх монет по 1 рублю.
Покажем, что трёх монет достаточно. Пусть нужно набрать сумму S от 1 до 180 рублей.
Возьмём наибольшее возможное число пятирублёвых монет так, чтобы их сумма не превышала S. Если хватило монет (их 29), то остаток меньше 5 рублей; если использованы все 29 монет, остаток не больше 180-145=35 рублей. В любом случае остаётся набрать сумму S_1\le 35.
Теперь возьмём наибольшее возможное число двухрублёвых монет так, чтобы их сумма не превышала S_1. Если монет хватило, остаток равен 0 или 1 рублю; если использованы все 16 монет (32 рубля), остаток не больше 35-32=3 рублей.
Итак, после этого остаётся набрать от 0 до 3 рублей, что можно сделать тремя монетами по 1 рублю.
Ответ: а) да; б) нет; в) 3.
Источник: проект демонстрационного варианта ЕГЭ 2027 по математике, профильный уровень (ФИПИ), задание 20. Все задания демоверсии с решениями.