На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 5, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше -120.
Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно шесть карточек?
б) Может ли число красных карточек на столе быть на 90 больше числа синих карточек на столе?
в) Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?
Решение
Обозначим через s количество синих карточек и через k количество красных. Тогда наибольшее число на красной карточке равно 2s, а наибольшее число на синей равно k.
а) Да, может. Пусть синяя карточка одна (s=1), на ней написано число 5. Тогда красных карточек должно быть k=5, а наибольшее число на них равно 2s=2. Возьмём красные карточки с числами -6, -4, -2, 0, 2.
Проверим: число 5 делится на 5; красные числа чётные и различные; все числа больше -120; наибольшее красное число 2=2\cdot 1; наибольшее синее число 5 равно количеству красных карточек. Всего 1+5=6 карточек.
б) Нет, не может. Пусть k=s+90. На красных карточках написано k различных чётных чисел, наибольшее из которых равно 2s. Самый «плотный» набор — это 2s, 2s-2, 2s-4, … Наименьшее из k таких чисел равно 2s-2(k-1), и при любом другом наборе наименьшее число будет ещё меньше. Все числа больше -120, а так как они чётные, то не меньше -118:
2s-2(k-1)\ge -118;
k\le s+60.
Это противоречит равенству k=s+90.
в) Из пункта б) уже получена оценка k\le s+60.
Аналогично рассмотрим синие карточки: на них s различных чисел, кратных 5, наибольшее из которых равно k. Наименьшее из них не больше k-5(s-1). Числа, кратные 5 и большие -120, не меньше -115:
k-5(s-1)\ge -115;
5s\le k+120.
Подставим оценку k\le s+60:
5s\le s+60+120;
4s\le 180;
s\le 45.
Тогда k\le 45+60=105, и всего карточек не больше 45+105=150.
Пример на 150 карточек. Синие карточки: 45 чисел -115, -110, …, 100, 105 (все кратные 5 от -115 до 105, их \dfrac{105-(-115)}{5}+1=45). Красные карточки: 105 чисел -118, -116, …, 88, 90 (все чётные от -118 до 90, их \dfrac{90-(-118)}{2}+1=105).
Проверим условия: наибольшее красное число 90=2\cdot 45 — удвоенное количество синих карточек; наибольшее синее число 105 равно количеству красных карточек; все числа больше -120.
Ответ: а) да; б) нет; в) 150.
Источник: проект демонстрационного варианта ЕГЭ 2027 по математике, профильный уровень (ФИПИ), задание 20. Все задания демоверсии с решениями.