Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
ax^4-2x^3+(a^3-a)x^2-(2a^2-2)x=-ax^3+2x^2-(a^3-a)x+2a^2-2
имеет ровно два различных корня.
Решение
Разложим на множители. Перенесём всё в левую часть и сгруппируем слагаемые попарно:
a(x^4+x^3)-2(x^3+x^2)+(a^3-a)(x^2+x)-(2a^2-2)(x+1)=0;
(x+1)\left(ax^3-2x^2+(a^3-a)x-(2a^2-2)\right)=0.
Во второй скобке сгруппируем: x^2(ax-2)+(a^2-1)(ax-2)=(ax-2)(x^2+a^2-1). Уравнение принимает вид:
(x+1)(ax-2)(x^2+a^2-1)=0.
Оно равносильно совокупности трёх уравнений: x=-1; ax=2; x^2=1-a^2.
Разберём, сколько корней даёт каждое уравнение.
Первое всегда даёт корень x=-1.
Второе при a=0 корней не имеет, при a\ne 0 даёт один корень x=\dfrac{2}{a}. Он совпадает с -1 только при a=-2.
Третье при |a|>1 корней не имеет, при a=\pm 1 даёт один корень x=0, при |a|<1 — два корня x=\pm\sqrt{1-a^2}.
Случай |a|>1. Корни: -1 и \dfrac{2}{a}. Они различны при a\ne -2, тогда корней ровно два. При a=-2 корень один. Подходят a<-2, -2<a<-1 и a>1.
Случай a=1. Корни: -1, 2 и 0 — три корня, не подходит.
Случай a=-1. Корни: -1, -2 и 0 — три корня, не подходит.
Случай a=0. Второе уравнение корней не имеет, третье даёт x=\pm 1. Вместе с первым получаем корни -1 и 1 — ровно два, подходит.
Случай 0<|a|<1. Третье уравнение даёт два корня \pm\sqrt{1-a^2}, по модулю меньших 1 и не равных нулю, то есть отличных от -1. Корень второго уравнения \dfrac{2}{a} по модулю больше 2, поэтому не совпадает ни с одним из них. Всего получается четыре различных корня — не подходит.
Ответ: a<-2; -2<a<-1; a=0; a>1.
Источник: проект демонстрационного варианта ЕГЭ 2027 по математике, профильный уровень (ФИПИ), задание 19. Все задания демоверсии с решениями.