Амплитуда вынужденных колебаний корабля при качке на волнении выражается формулой A=k\theta_0\cdot\dfrac{\tau^2}{\sqrt{(T^2-\tau^2)^2+n\tau^2T^2}}, где k=0{,}91 — коэффициент, зависящий от отношения ширины корабля к длине волны, \theta_0=9^\circ — угол наибольшего волнового склона, \tau — период волны (в секундах), T=14{,}7 с — период свободных качаний корабля на тихой воде, n=0{,}0792 — коэффициент, зависящий от величины сопротивления воды. При каком периоде волны амплитуда вынужденных колебаний корабля будет наибольшей? Ответ дайте в секундах.
Решение
Упростим задачу. Амплитуда A положительна, поэтому A и A^2 достигают наибольшего значения при одном и том же \tau. Множитель k\theta_0 постоянный и на положение максимума не влияет. Обозначим x=\tau^2, x>0, и исследуем функцию
f(x)=\frac{x^2}{(T^2-x)^2+nT^2x}.
Чтобы не дифференцировать громоздкую дробь, рассмотрим обратную величину. При x>0 функция f(x) положительна, поэтому она наибольшая там, где наименьшая \dfrac{1}{f(x)}:
g(x)=\frac{(T^2-x)^2+nT^2x}{x^2}=\frac{T^4}{x^2}-\frac{(2-n)T^2}{x}+1.
Замена. Пусть u=\dfrac{1}{x}, u>0. Тогда
g=T^4u^2-(2-n)T^2u+1.
Это квадратный трёхчлен относительно u с положительным старшим коэффициентом; его график — парабола с ветвями вверх, наименьшее значение достигается в вершине:
u_0=\frac{(2-n)T^2}{2T^4}=\frac{2-n}{2T^2}.
Так как n=0{,}0792<2, значение u_0 положительно и входит в область определения. Тогда
x_0=\frac{1}{u_0}=\frac{2T^2}{2-n}=\frac{T^2}{1-\frac{n}{2}}.
Вычисления. Так как x=\tau^2 и \tau>0:
\tau=\frac{T}{\sqrt{1-\frac{n}{2}}}=\frac{14{,}7}{\sqrt{1-0{,}0396}}=\frac{14{,}7}{\sqrt{0{,}9604}}=\frac{14{,}7}{0{,}98}=15.
Амплитуда качки наибольшая при периоде волны 15 секунд — чуть больше периода собственных колебаний корабля.
Ответ: 15.
Источник: проект демонстрационного варианта ЕГЭ 2027 по математике, профильный уровень (ФИПИ), задание 17. Все задания демоверсии с решениями.