На заводе имеется генератор с ЭДС \varepsilon=50 В и внутренним сопротивлением r=1 Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки R (в омах). Сила тока в цепи (в амперах) определяется законом Ома: I=\dfrac{\varepsilon}{r+R}. Тепловая мощность (в ваттах), выделяемая в нагрузке, может быть рассчитана по формуле Джоуля — Ленца: P=I^2R. Какова максимальная тепловая мощность P, которая может быть выделена нагрузкой?
Решение
Составим функцию. Подставим выражение для силы тока в формулу мощности:
P=I^2R=\frac{\varepsilon^2R}{(r+R)^2}.
При \varepsilon=50 и r=1 получаем функцию от сопротивления нагрузки:
P(R)=\frac{2500R}{(R+1)^2},\qquad R\ge 0.
Найдём производную по правилу дифференцирования частного:
P'(R)=2500\cdot\frac{(R+1)^2-R\cdot 2(R+1)}{(R+1)^4}=2500\cdot\frac{(R+1)-2R}{(R+1)^3}=\frac{2500(1-R)}{(R+1)^3}.
Исследуем знак производной. При R\ge 0 знаменатель положителен, поэтому знак производной совпадает со знаком выражения 1-R:
— при 0\le R<1 производная положительна, функция возрастает;
— при R>1 производная отрицательна, функция убывает.
Значит, R=1 — точка максимума, и в ней функция принимает наибольшее значение:
P(1)=\frac{2500\cdot 1}{(1+1)^2}=\frac{2500}{4}=625\ \text{Вт}.
Результат согласуется с известным из физики фактом: наибольшая мощность выделяется в нагрузке, когда её сопротивление равно внутреннему сопротивлению источника.
Это новое задание ЕГЭ 2027 с развёрнутым ответом: нужно самостоятельно составить функцию по условию прикладной задачи и исследовать её с помощью производной.
Ответ: 625 Вт.
Источник: проект демонстрационного варианта ЕГЭ 2027 по математике, профильный уровень (ФИПИ), задание 17. Все задания демоверсии с решениями.