Решите неравенство \displaystyle\frac{2\cdot 8^{x-1}}{2\cdot 8^{x-1}-1}\ge\frac{3}{8^x-1}+\frac{8}{64^x-5\cdot 8^x+4}.
Решение
Сделаем замену t=8^x, t>0. Тогда 8^{x-1}=\dfrac{t}{8}, 2\cdot 8^{x-1}=\dfrac{t}{4} и 64^x=t^2.
Преобразуем левую часть:
\frac{\frac{t}{4}}{\frac{t}{4}-1}=\frac{t}{t-4}.
Знаменатель последней дроби разложим на множители: t^2-5t+4=(t-1)(t-4). Неравенство принимает вид:
\frac{t}{t-4}\ge\frac{3}{t-1}+\frac{8}{(t-1)(t-4)}.
Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:
\frac{t(t-1)-3(t-4)-8}{(t-1)(t-4)}\ge 0;
\frac{t^2-4t+4}{(t-1)(t-4)}\ge 0;
\frac{(t-2)^2}{(t-1)(t-4)}\ge 0.
Числитель неотрицателен при всех t и равен нулю при t=2. Значит, неравенство выполняется, если t=2 или если знаменатель положителен: (t-1)(t-4)>0, то есть t<1 или t>4.
Вернёмся к переменной x (условие t>0 выполнено всегда).
При t<1: 8^x<1, откуда x<0.
При t=2: 8^x=2, то есть 2^{3x}=2^1, откуда x=\dfrac{1}{3}.
При t>4: 8^x>4, то есть 2^{3x}>2^2, откуда x>\dfrac{2}{3}.
Ответ: (-\infty;0)\cup\left\{\dfrac{1}{3}\right\}\cup\left(\dfrac{2}{3};+\infty\right).
Источник: проект демонстрационного варианта ЕГЭ 2027 по математике, профильный уровень (ФИПИ), задание 16. Все задания демоверсии с решениями.