Решите неравенство 2^{\log_2(\log_2x)}+\log_4^2x-3\le 0.
Решение
Область определения. Выражение \log_2(\log_2x) имеет смысл, когда \log_2x>0, то есть при x>1.
Упрощение. По основному логарифмическому тождеству 2^{\log_2(\log_2x)}=\log_2x.
Перейдём во втором слагаемом к основанию 2: \log_4x=\dfrac{\log_2x}{\log_24}=\dfrac{1}{2}\log_2x, поэтому \log_4^2x=\dfrac{1}{4}\log_2^2x.
Обозначим t=\log_2x, при этом t>0. Неравенство принимает вид:
t+\frac{t^2}{4}-3\le 0;
t^2+4t-12\le 0;
(t+6)(t-2)\le 0.
При t>0 множитель t+6 положителен, поэтому неравенство равносильно t-2\le 0. С учётом ограничения получаем 0<t\le 2.
Вернёмся к переменной x:
0<\log_2x\le 2;
1<x\le 4.
Ответ: (1;4].
Источник: проект демонстрационного варианта ЕГЭ 2027 по математике, профильный уровень (ФИПИ), задание 16. Все задания демоверсии с решениями.