а) Решите уравнение 4\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)+2\sqrt{2}\cos(\pi-x)=2.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[\dfrac{17\pi}{2};10\pi\right].
Решение
а) Раскроем первое слагаемое по формуле косинуса суммы:
4\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=4\left(\cos x\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}-\sin x\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=2\sqrt{2}\cos x-2\sqrt{2}\sin x.
По формуле приведения \cos(\pi-x)=-\cos x, поэтому второе слагаемое равно -2\sqrt{2}\cos x. Уравнение принимает вид:
2\sqrt{2}\cos x-2\sqrt{2}\sin x-2\sqrt{2}\cos x=2;
-2\sqrt{2}\sin x=2;
\sin x=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.
Отсюда x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}, или x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.
б) Запишем концы отрезка со знаменателем 4: \dfrac{17\pi}{2}=\dfrac{34\pi}{4}, 10\pi=\dfrac{40\pi}{4}.
Серия x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n=\dfrac{(8n-1)\pi}{4}: нужно 34\le 8n-1\le 40, то есть 4{,}375\le n\le 5{,}125, откуда n=5 и x=\dfrac{39\pi}{4}.
Серия x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k=\dfrac{(8k-3)\pi}{4}: нужно 34\le 8k-3\le 40, то есть 4{,}625\le k\le 5{,}375, откуда k=5 и x=\dfrac{37\pi}{4}.
Ответ: а) -\dfrac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}; -\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}; б) \dfrac{37\pi}{4}; \dfrac{39\pi}{4}.
Источник: проект демонстрационного варианта ЕГЭ 2027 по математике, профильный уровень (ФИПИ), задание 14. Все задания демоверсии с решениями.