а) Решите уравнение \cos 2x+\sqrt{2}\cos(x+\pi)+1=0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[-4\pi;-\dfrac{5\pi}{2}\right].
Решение
а) Применим формулу приведения \cos(x+\pi)=-\cos x и формулу косинуса двойного угла \cos 2x=2\cos^2x-1:
2\cos^2x-1-\sqrt{2}\cos x+1=0;
2\cos^2x-\sqrt{2}\cos x=0;
\cos x\left(2\cos x-\sqrt{2}\right)=0.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
1) \cos x=0, откуда x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.
2) \cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, откуда x=\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.
б) Отберём корни с помощью двойных неравенств. Удобно записать концы отрезка со знаменателем 4: -4\pi=-\dfrac{16\pi}{4}, -\dfrac{5\pi}{2}=-\dfrac{10\pi}{4}.
Серия x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k: неравенство -4\pi\le\dfrac{\pi}{2}+\pi k\le-\dfrac{5\pi}{2} даёт -4{,}5\le k\le -3, то есть k=-4 и k=-3. Получаем x=-\dfrac{7\pi}{2} и x=-\dfrac{5\pi}{2}.
Серия x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n: неравенство -4\pi\le\dfrac{\pi}{4}+2\pi n\le-\dfrac{5\pi}{2} даёт -2{,}125\le n\le -1{,}375, то есть n=-2. Получаем x=-\dfrac{15\pi}{4}.
Серия x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n: неравенство -4\pi\le-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n\le-\dfrac{5\pi}{2} даёт -1{,}875\le n\le -1{,}125. Целых n в этом промежутке нет, корней на отрезке эта серия не даёт.
Ответ: а) \dfrac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}; \pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}; б) -\dfrac{15\pi}{4}; -\dfrac{7\pi}{2}; -\dfrac{5\pi}{2}.
Источник: проект демонстрационного варианта ЕГЭ 2027 по математике, профильный уровень (ФИПИ), задание 14. Все задания демоверсии с решениями.