Два велосипедиста одновременно отправились в 90-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 5 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.
Решение
Пусть x км/ч — скорость первого велосипедиста (он и пришёл к финишу первым), тогда скорость второго равна x-5 км/ч, причём x>5.
Первый затратил на пробег \dfrac{90}{x} часов, второй — \dfrac{90}{x-5} часов. Второй ехал на 3 часа дольше:
\frac{90}{x-5}-\frac{90}{x}=3.
Разделим обе части на 3 и приведём к общему знаменателю:
\frac{30}{x-5}-\frac{30}{x}=1;
30x-30(x-5)=x(x-5);
150=x^2-5x;
x^2-5x-150=0.
Дискриминант: D=25+600=625=25^2.
x_1=\frac{5+25}{2}=15,\qquad x_2=\frac{5-25}{2}=-10.
Скорость не может быть отрицательной, поэтому x=15.
Проверка: первый проедет 90 км за 90:15=6 часов, второй — за 90:10=9 часов, разница 3 часа.
Ответ: 15.
Источник: проект демонстрационного варианта ЕГЭ 2027 по математике, профильный уровень (ФИПИ), задание 11. Все задания демоверсии с решениями.