Цилиндр, объём которого равен 18, описан около шара. Найдите объём шара.
Решение
Если цилиндр описан около шара, то шар касается обоих оснований и боковой поверхности цилиндра. Поэтому радиус основания цилиндра равен радиусу шара R, а высота цилиндра равна диаметру шара: h=2R.
Объём цилиндра:
V_{\text{ц}}=\pi R^2\cdot h=\pi R^2\cdot 2R=2\pi R^3.
По условию 2\pi R^3=18, откуда \pi R^3=9.
Объём шара:
V_{\text{ш}}=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\cdot 9=12.
Полезно запомнить: объём шара всегда составляет \frac{2}{3} объёма описанного около него цилиндра.
Ответ: 12.
Источник: проект демонстрационного варианта ЕГЭ 2027 по математике, профильный уровень (ФИПИ), задание 3. Все задания демоверсии с решениями.