Организаторы лотереи выпустили 10\,000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом.
| Выигрыш (в рублях) | 100 | 1000 | 5000 | 10 000 | 50 000 |
| Число выигрышных билетов | 500 | 100 | 50 | 10 | 1 |
Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.
Решение
Математическое ожидание случайной величины — это сумма произведений всех её значений на вероятности этих значений. Для лотереи это средний выигрыш, приходящийся на один билет.
Вероятность каждого выигрыша равна числу соответствующих билетов, делённому на 10\,000. Остальные билеты приносят выигрыш 0 рублей и на сумму не влияют. Поэтому математическое ожидание равно общей сумме всех выигрышей, делённой на число билетов.
Общая сумма выигрышей:
100\cdot 500+1000\cdot 100+5000\cdot 50+10\,000\cdot 10+50\,000\cdot 1=
=50\,000+100\,000+250\,000+100\,000+50\,000=550\,000\ \text{руб.}
Математическое ожидание выигрыша на один билет:
\frac{550\,000}{10\,000}=55\ \text{руб.}
Это новый тип задания в ЕГЭ 2027: на числовые характеристики случайных величин.
Ответ: 55.
Источник: проект демонстрационного варианта ЕГЭ 2027 по математике, профильный уровень (ФИПИ), задание 6. Все задания демоверсии с решениями.