Даны векторы \overrightarrow{a}(-4\sqrt{6}; 2) и \overrightarrow{b}(4\sqrt{6}; 2). Найдите косинус угла между ними.
Решение
Скалярное произведение векторов равняется произведению их длин на косинус угла между ними:
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|} \cdot \cos \alpha.Выведем косинус угла между векторами:
\displaystyle \cos \alpha=\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|}}.В числителе у нас получилось скалярное произведение в координатах, а в знаменателе произведение длин векторов.
Скалярное произведение двух векторов \overrightarrow{a}(x_1; y_1) и \overrightarrow{b}(x_2; y_2) равняется \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=x_1 x_2 + y_1 y_2.
Найдем скалярное произведение:
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=-4\sqrt{6} \cdot 4\sqrt{6} + 2 \cdot 2=-96+4=-92.Длина вектора \overrightarrow{a} (x;y) вычисляется по формуле |\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^2+y^2}.
Найдем произведение длин векторов:
|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|=\sqrt{(-4\sqrt{6} )^2 + 2^2} \cdot \sqrt{(4\sqrt{6} )^2 + 2^2}=\sqrt{100} \cdot \sqrt{100}=\sqrt{10000}=100.Найдем косинус угла между векторами:
\displaystyle \cos \alpha=\frac{-92}{100}=-0,92.Ответ: -0,92.
Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509824)