Даны векторы \overrightarrow{a}(-\sqrt{91}; 3) и \overrightarrow{b}(-\sqrt{91}; -3). Найдите косинус угла между ними.
Решение
Скалярное произведение векторов равняется произведению их длин на косинус угла между ними:
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|} \cdot \cos \alpha.Выведем косинус угла между векторами:
\displaystyle \cos \alpha=\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|}}.В числителе у нас получилось скалярное произведение в координатах, а в знаменателе произведение длин векторов.
Скалярное произведение двух векторов \overrightarrow{a}(x_1; y_1) и \overrightarrow{b}(x_2; y_2) равняется \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=x_1 x_2 + y_1 y_2.
Найдем скалярное произведение:
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=-\sqrt{91} \cdot (-\sqrt{91}) + 3 \cdot (-3)=91-9=82.Длина вектора \overrightarrow{a} (x;y) вычисляется по формуле |\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^2+y^2}.
Найдем произведение длин векторов:
|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|=\sqrt{(-\sqrt{91} )^2 + 3^2} \cdot \sqrt{(-\sqrt{91} )^2 + (-3)^2}=\sqrt{100} \cdot \sqrt{100}=\sqrt{10000}=100.Найдем косинус угла между векторами:
\displaystyle \cos \alpha=\frac{82}{100}=0,82.Ответ: 0,82.
Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509825)