Даны векторы \overrightarrow{a}(-2\sqrt{21}; -4) и \overrightarrow{b}(-2\sqrt{21}; 4). Найдите косинус угла между ними.
Решение
Скалярное произведение векторов равняется произведению их длин на косинус угла между ними:
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|} \cdot \cos \alpha.Выведем косинус угла между векторами:
\displaystyle \cos \alpha=\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|}}.В числителе у нас получилось скалярное произведение в координатах, а в знаменателе произведение длин векторов.
Скалярное произведение двух векторов \overrightarrow{a}(x_1; y_1) и \overrightarrow{b}(x_2; y_2) равняется \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=x_1 x_2 + y_1 y_2.
Найдем скалярное произведение:
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=-2\sqrt{21} \cdot (-2\sqrt{21}) + (-4) \cdot 4=84-16=68.Длина вектора \overrightarrow{a} (x;y) вычисляется по формуле |\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^2+y^2}.
Найдем произведение длин векторов:
|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|=\sqrt{(-2\sqrt{21} )^2 + (-4)^2} \cdot \sqrt{(-2\sqrt{21} )^2 + 4^2}=\sqrt{100} \cdot \sqrt{100}=\sqrt{10000}=100.Найдем косинус угла между векторами:
\displaystyle \cos \alpha=\frac{68}{100}=0,68.Ответ: 0,68.
Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509826)