Даны векторы \overrightarrow{a}(12; 2\sqrt{14}) и \overrightarrow{b}(-12; 2\sqrt{14}). Найдите косинус угла между ними.
Решение
Скалярное произведение векторов равняется произведению их длин на косинус угла между ними:
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|} \cdot \cos \alpha.Выведем косинус угла между векторами:
\displaystyle \cos \alpha=\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|}}.В числителе у нас получилось скалярное произведение в координатах, а в знаменателе произведение длин векторов.
Скалярное произведение двух векторов \overrightarrow{a}(x_1; y_1) и \overrightarrow{b}(x_2; y_2) равняется \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=x_1 x_2 + y_1 y_2.
Найдем скалярное произведение:
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=12 \cdot (-12) + 2\sqrt{14} \cdot 2\sqrt{14} =-144+56=-88.Длина вектора \overrightarrow{a} (x;y) вычисляется по формуле |\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^2+y^2}.
Найдем произведение длин векторов:
|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|=\sqrt{12^2 + (2\sqrt{14})^2} \cdot \sqrt{(-12)^2 + (2\sqrt{14})^2} =\sqrt{200} \cdot \sqrt{200}=\sqrt{40000}=200.Найдем косинус угла между векторами:
\displaystyle \cos \alpha=-\frac{88}{200}=-0,44.Ответ: -0,44.
Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509836)