Даны векторы \overrightarrow{a}(13; \sqrt{31}) и \overrightarrow{b}(-13; \sqrt{31}). Найдите косинус угла между ними.
Решение
Скалярное произведение векторов равняется произведению их длин на косинус угла между ними:
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|} \cdot \cos \alpha.Выведем косинус угла между векторами:
\displaystyle \cos \alpha=\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|}}.В числителе у нас получилось скалярное произведение в координатах, а в знаменателе произведение длин векторов.
Скалярное произведение двух векторов \overrightarrow{a}(x_1; y_1) и \overrightarrow{b}(x_2; y_2) равняется \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=x_1 x_2 + y_1 y_2.
Найдем скалярное произведение:
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=13 \cdot (-13) + \sqrt{31} \cdot \sqrt{31} =-169+31=-138.Длина вектора \overrightarrow{a} (x;y) вычисляется по формуле |\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^2+y^2}.
Найдем произведение длин векторов:
|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|=\sqrt{13^2 + (\sqrt{31})^2} \cdot \sqrt{(-13)^2 + (\sqrt{31})^2} =\sqrt{200} \cdot \sqrt{200}=\sqrt{40000}=200.Найдем косинус угла между векторами:
\displaystyle \cos \alpha=-\frac{138}{200}=-0,69.Ответ: -0,69.
Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509837)