Длина вектора \overrightarrow{a} равна 8 \sqrt{11}, угол между векторами \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} равен 120^{\circ}, а скалярное произведение \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} равно -6 \sqrt{11}. Найдите длину вектора \overrightarrow{b}.
Решение
Скалярное произведение векторов равняется произведению их длин на косинус угла между ними:
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|} \cdot \cos \alpha.Выведем длину вектора \overrightarrow{b}:
\displaystyle \overrightarrow{|b|}= \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{|a|} \cdot \cos \alpha}.Подставим известные значения в формулу и найдем длину вектора \overrightarrow{b}:
\displaystyle \overrightarrow{|b|}= \frac{-6 \sqrt{11}}{8 \sqrt{11} \cdot \cos 120^{\circ}}= \frac{-6 \sqrt{11}}{8 \sqrt{11} \cdot -\frac{1}{2}}= \frac{6 \sqrt{11}}{4 \sqrt{11}}=1,5.Ответ: 1,5.
Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509879)