Длина вектора \overrightarrow{a} равна 24 \sqrt{23}, угол между векторами \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} равен 120^{\circ}, а скалярное произведение \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} равно -15 \sqrt{23}. Найдите длину вектора \overrightarrow{b}.
Решение
Скалярное произведение векторов равняется произведению их длин на косинус угла между ними:
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{|a|} \cdot \overrightarrow{|b|} \cdot \cos \alpha.Выведем длину вектора \overrightarrow{b}:
\displaystyle \overrightarrow{|b|}= \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{|a|} \cdot \cos \alpha}.Подставим известные значения в формулу и найдем длину вектора \overrightarrow{b}:
\displaystyle \overrightarrow{|b|}= \frac{-15 \sqrt{23}}{24 \sqrt{23} \cdot \cos 120^{\circ}}= \frac{-15 \sqrt{23}}{24 \sqrt{23} \cdot -\frac{1}{2}}= \frac{15 \sqrt{23}}{12 \sqrt{23}}=1,25.Ответ: 1,25.
Источник: Открытый банк задач ЕГЭ по математике (Задание №509880)