Два друга Петя и Вася задумались о том, как рассчитать площадь поверхности зонта.
На первый взгляд зонт кажется круглым, а его купол напоминает часть сферы (сферический сегмент). Но если присмотреться, то видно, что купол зонта состоит из восьми отдельных клиньев, натянутых на каркас из восьми спиц (рис. 1). Сферическая форма в раскрытом состоянии достигается за счёт гибкости спиц и эластичности ткани, из которой изготовлен зонт.
Петя и Вася сумели измерить расстояние между концами соседних спиц а. Оно оказалось равно 38 см. Высота купола зонта h (рис. 2) оказалась равна 25 см, а расстояние d между концами спиц, образующих дугу окружности, проходящей через вершину зонта, — ровно 100 см.
Задание 3: Вася предположил, что купол зонта имеет форму сферического сегмента. Вычислите радиус R сферы купола, зная, что OC=R (рис. 2). Ответ дайте в сантиметрах.
Решение
Введем обозначения:
Треугольник AOB — равнобедренный, т.к. AO=BO=R. Значит, углы при основании равны \angle OAD = \angle OBD.
OC является медианой, т.к. данный отрезок является основной осью зонта и проводится ровно в центр купола. Значит, OB является медианой, высотой и биссектрисой. Значит, \angle ADO=\angle BDO=90^{\circ}.Получается, что треугольник ADO равен треугольнику BDO по гипотенузе и острому углу.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ADO. Найдем длину AD, она равняется половине расстояния d:
\displaystyle AD=\frac{d}{2}=\frac{100}{2}=50.Найдем OC:
OD=OC-h=R-25.Найдем OA по теореме Пифагора:
AO^2=AD^2+OD^2; R^2=50^2+(R-25)^2; R^2=2500+R^2-50R+625; 50R=3125; R=62,5.Получилось, что радиус сферы купола равен 62,5 см.
Ответ: 62,5.
Источник: ОГЭ-2025. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Ященко И. В. (вариант 23) (Решебник)
ОГЭ-2024. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 13) (Решебник)