У Кати есть попрыгунчик (каучуковый мячик). Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока попрыгунчик подлетел на высоту 400 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньшей предыдущей. После какого по счету отскока высота, на которую подлетит попрыгунчик, станет меньше 20 см?
Решение
Первый вариант решения:
После каждого следующего отскока от асфальта попрыгунчик подлетал на высоту в два раза меньшей предыдущей.
Первый отскок 400 см;
Второй отскок 400 \div 2=200 см;
Третий отскок 200 \div 2=100 см;
Четвертый отскок 100 \div 2=50 см;
Пятый отскок 50 \div 2=25 см;
Шестой отскок 25 \div 2=12,5 см.
Получилось, что после шестого отскока высота, на которую подлетит попрыгунчик, станет меньше 20 см.
Второй вариант решения:
В данной задаче представлена геометрическая прогрессия (после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньшей предыдущей). Для решения воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии b_n=b_1 \cdot q^{n-1}, где q — знаменатель.
Запишем известные данные:
b_1=400; \displaystyle q=\frac{1}{2} (подлетает на высоту в два раза меньшей предыдущей). b_n должно быть меньше 20. \displaystyle 400 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{q-1}<20; \displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{q-1}<\frac{20}{400}; \displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{q-1}<\frac{1}{20}.При n=5 неравенство будет иметь вид:
\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{5-1}<\frac{1}{20}; \displaystyle \frac{1}{16}<\frac{1}{20} — не верно.При n=6 неравенство будет иметь вид:
\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{6-1}<\frac{1}{20}; \displaystyle \frac{1}{32}<\frac{1}{20} — верно.Значит после 6 отскока попрыгунчик подлетит на высоту меньше 20 см.
Ответ: 6.
Источник: ОГЭ 2025. Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ. Ященко И. В. (вариант 27) (Решебник)