В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах – два штрафных очка, за каждый последующий промах – на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 15 штрафных очков?
Решение
Задача на арифметическую прогрессию, т.к. за каждый последующий промах – на 0,5 очка больше, чем за предыдущий.
Для решения воспользуемся формулой суммой первых n членов арифметической прогрессии \displaystyle S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2} \cdot n.
Запишем известные данные:
S_n=15 штрафных очков – сумма (всего штрафных очков);
a_1=2 штрафных очка – первый член арифметической прогрессии (штрафное очко за первый промах);
d=0,5 штрафных очка – разность арифметической прогрессии;
Определим сколько раз промазал стрелок, получивший 15 штрафных очков:
\displaystyle 15=\frac{2 \cdot 2+(n-1) \cdot 0,5}{2} \cdot n; \displaystyle 30=(4+(n-1) \cdot 0,5) \cdot n; \displaystyle 30=4n+0,5n^2-0,5n; \displaystyle 0,5n^2+3,5n-30=0; \displaystyle n^2+7n-60=0; D=b^2-4ac=49-4 \cdot 1 \cdot (-60)=49+240=289; \displaystyle x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-7-17}{2}=-12; \displaystyle x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-7+17}{2}=5.Т.к. n является положительным числом, то стрелок совершил 5 промахов. А значит, попал он 25-5=20 раз.
Ответ: 20.
Источник: ОГЭ 2025. Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ. Ященко И. В. (вариант 39) (Решебник)