В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 50 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — два штрафных очка, за каждый последующий промах — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 30 штрафных очков?
Решение
Задача на арифметическую прогрессию, т.к. за каждый последующий промах — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий.
Для решения воспользуемся формулой суммой первых n членов арифметической прогрессии \displaystyle S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2} \cdot n.
Запишем известные данные:
S_n=30 штрафных очков — сумма (всего штрафных очков);
a_1=2 штрафных очка — первый член арифметической прогрессии (штрафное очко за первый промах);
d=0,5 штрафных очка — разность арифметической прогрессии;
Определим сколько раз промазал стрелок, получивший 30 штрафных очков:
\displaystyle 30=\frac{2 \cdot 2+(n-1) \cdot 0,5}{2} \cdot n;
\displaystyle 60=(4+(n-1) \cdot 0,5) \cdot n;
\displaystyle 60=4n+0,5n^2-0,5n;
\displaystyle 0,5n^2+3,5n-60=0;
\displaystyle n^2+7n-120=0;
D=b^2-4ac=49-4 \cdot 1 \cdot (-120)=49+480=529;
\displaystyle x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-7-23}{2}=-15;
\displaystyle x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-7+23}{2}=8.
Т.к. n является положительным числом, то стрелок совершил 8 промахов. А значит, попал он 50-8=42 раза.
Ответ: 42.
Источник: ОГЭ 2025. Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ. Ященко И. В. (вариант 38) (Решебник)