Медиана равностороннего треугольника равна 15\sqrt{3}. Найдите сторону этого треугольника.
Решение
Введем обозначения:
Треугольник ABC — равносторонний. А в равностороннем треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
Медиана делит сторону пополам на которую она опущена:
\displaystyle AH=HC=\frac{AC}{2}.Пусть AH=HC=x. Можно записать:
\displaystyle x=\frac{AC}{2} отсюда AC=2x.
Т.к. треугольник равносторонний, значит AC=AB=BC=2x.
Треугольник ABH является прямоугольным, т.к. BH — высота. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABH найдем сторону AH:
AB^2=AH^2+BH^2; (2x)^2=x^2+(15\sqrt{3})^2; 4x^2=x^2+225 \cdot 3; 4x^2-x^2=675; 3x^2=675; x^2=225; x=15.Найдем сторону треугольника ABC: AC=AB=BC=2x=2 \cdot 15=30.
Ответ: 30.
Источник: ОГЭ 2025. Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ. Ященко И. В. (вариант 43) (Решебник)