В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.
Решение
Площадь трапеции находится по формуле \displaystyle S=\frac{a+b}{2} \cdot h, где a и b — основания трапеции, h — высота проведенная к основанию.
Основания известны, найдем высоту. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник ABC:
В данном треугольнике известны \angle BAC=45^{\circ}, \angle ACD=90^{\circ}, т.к. BC высота. Сумма углов в треугольнике равна 180^{\circ}, найдем оставшийся угол ABC:
\angle ABC=180^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}=45^{\circ}.Получилось, что \angle CAB=\angle ABC=45^{\circ}, значит треугольник ABC является еще и равнобедренным. А у равнобедренного треугольника боковые стороны равны AC=BC. Найдем сторону AC=(8-2) \div 2=3. Получается, что высота равна BC=3.
Найдем площадь трапеции:
\displaystyle S=\frac{a+b}{2} \cdot h=\frac{8+2}{2} \cdot 3=5 \cdot 3=15.Ответ: 15.
Источник: ОГЭ 2025. Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ. Ященко И. В. (вариант 23) (Решебник)