Решите неравенство \displaystyle \frac{-12}{(x-1)^2-2} \geq 0.
Решение
ОДЗ: (x-1)^2-2 \neq 0;
Т.к. числитель дроби не равен 0, то и дробь будет не равна 0. Дробь будет больше нуля, если знаменатель дроби будет меньше нуля, т.к. в числителе стоит отрицательное число. Можно записать:
(x-1)^2-2 < 0;
Воспользуемся формулой квадрата разности a^2-b^2=(a-b)(a+b):
(x-1)^2-(\sqrt{2})^2 < 0;
(x-1-\sqrt{2}) (x-1+\sqrt{2}) < 0;
Воспользуемся методом интервалов:
(x-1-\sqrt{2}) (x-1+\sqrt{2}) = 0;
Уравнение будет равно нулю, если x-1-\sqrt{2} = 0 или x-1+\sqrt{2} = 0.
x-1-\sqrt{2} = 0;
x=1+\sqrt{2}.
ИЛИ
x-1+\sqrt{2} = 0;
x=1-\sqrt{2}.
Изобразим решение:
Получилось, что x \in (1-\sqrt{2}; 1+\sqrt{2}).
Ответ: x \in (1-\sqrt{2}; 1+\sqrt{2}).
Источник: ОГЭ 2025. Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ. Ященко И. В. (вариант 35) (Решебник)