Сократите дробь \displaystyle \frac{36^n}{3^{2n-1} \cdot 4^{n-2}} .
Решение
Воспользуемся следующими свойствами степеней \displaystyle (a^m)^n=a^{mn}; \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}.
Преобразуем числитель:
36^n=(9 \cdot 4)^n=(3 \cdot 3 \cdot 4)^n=(4 \cdot 3^2)^n=4^n \cdot 3^{2n}.
Сократим дробь:
\displaystyle \frac{4^n \cdot 3^{2n}}{3^{2n-1} \cdot 4^{n-2}}=\frac{3^{2n}}{3^{2n-1}} \cdot \frac{4^n}{4^{n-2}}=3^{2n-(2n-1)} \cdot 4^{n-(n-2)}=3^{2n-2n+1} \cdot 4^{n-n+2}=3^1 \cdot 4^2=3 \cdot 16=48.
Ответ: 48.
Источник: ОГЭ 2025. Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ. Ященко И. В. (вариант 39) (Решебник)