Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 135°, а CD = 29.
Решение
Нарисуем трапецию ABCD и проведем в нем высоты AH и CE:
\angle ECD=\angle BCD - \angle BCE=135^{\circ}-90^{\circ}=45^{\circ}.
Рассмотрим треугольник CED, в котором известны углы \angle CED=90^{\circ}; \angle CDE=\angle DCE = 45^{\circ}. Мы знаем, что косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе. Значит, можно записать:
\displaystyle cos \angle DCE=\frac{CE}{CD}; \displaystyle cos 45^{\circ}=\frac{CE}{29}; \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{CE}{29}; 2CE=\sqrt{2} \cdot 29; \displaystyle CE=14,5\sqrt{2}.У трапеции высоты равны, значит, \displaystyle AH=CE=14,5\sqrt{2}.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH, в котором известны углы \angle AHB=90^{\circ}; \angle HBA = 30^{\circ}; \angle HAB=180^{\circ}-30^{\circ}-90^{\circ}=60^{\circ}. Мы знаем, что синус – отношение противолежащего катета к гипотенузе. Значит, можно записать:
\displaystyle sin \angle HBA=\frac{AH}{AB}; \displaystyle sin 30^{\circ}=\frac{14,5\sqrt{2}}{AB}; \displaystyle \frac{1}{2}=\frac{14,5\sqrt{2}}{AB}; \displaystyle AB=2 \cdot 14,5 \sqrt{2}=29\sqrt{2}.Ответ: 29\sqrt{2}.
Источник: ОГЭ 2025. Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ. Ященко И. В. (вариант 2) (Решебник)