Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 45° и 150°, а CD = 32.
Решение
Нарисуем трапецию ABCD и проведем в нем высоты AH и CE:
\angle ECD=\angle BCD - \angle BCE=150^{\circ}-90^{\circ}=60^{\circ}.
Рассмотрим треугольник CED, в котором известны углы \angle CED=90^{\circ}; \angle DCE = 60^{\circ}; \angle EDC = 180^{\circ}-90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}. Мы знаем, что косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе. Значит, можно записать:
\displaystyle cos \angle DCE=\frac{CE}{CD}; \displaystyle cos 60^{\circ}=\frac{CE}{32}; \displaystyle \frac{1}{2}=\frac{CE}{32}; 2CE=32; \displaystyle CE=16.У трапеции высоты равны, значит, \displaystyle AH=CE=16.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH, в котором известны углы \angle AHB=90^{\circ}; \angle HBA = 45^{\circ}; \angle HAB=180^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}=45^{\circ}. Мы знаем, что синус – отношение противолежащего катета к гипотенузе. Значит, можно записать:
\displaystyle sin \angle HBA=\frac{AH}{AB}; \displaystyle sin 45^{\circ}=\frac{16}{AB}; \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{16}{AB}; \displaystyle \sqrt{2}AB=16 \cdot 2; \displaystyle \sqrt{2}AB=32;\displaystyle AB=\frac{32}{\sqrt{2}}=\frac{32 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}=\frac{32\sqrt{2}}{2}=16\sqrt{2}.
Ответ: 16\sqrt{2}.
Источник: ОГЭ 2025. Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ. Ященко И. В. (вариант 3) (Решебник)