Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает ее боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 50, BC = 30, CF : DF = 7 : 3.
Решение
Нарисуем условие и проведем диагональ BD:
Теорема Фалеса гласит: Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от его сторон пропорциональные отрезки. Можно записать:
\displaystyle \frac{BE}{AE}=\frac{CF}{FD}=\frac{7}{3}.
Треугольник BCD подобен треугольнику OFD по двум углам:
— \angle BDC общий;
— \angle BCD=\angle OFD как соответственные углы.
У подобных треугольников стороны пропорциональны:
\displaystyle \frac{BC}{OF}=\frac{CD}{DF}.
\displaystyle \frac{CD}{DF}=\frac{CF+DF}{DF}=\frac{CF}{DF}+1=\frac{7}{3}+1=\frac{10}{3}.
Можно записать:
\displaystyle \frac{BC}{OF}=\frac{10}{3};
\displaystyle \frac{30}{OF}=\frac{10}{3};
\displaystyle 10OF=90;
\displaystyle OF=9.
Треугольник ABD подобен треугольнику EBO по двум углам:
— \angle ABD общий;
— \angle BAD=\angle BEO как соответственные углы.
У подобных треугольников стороны пропорциональны:
\displaystyle \frac{AD}{EO}=\frac{AB}{BE}.
\displaystyle \frac{AB}{BE}=\frac{AE+BE}{BE}=\frac{AE}{BE}+1=\frac{3}{7}+1=\frac{10}{7}.
Можно записать:
\displaystyle \frac{AD}{EO}=\frac{10}{7};
\displaystyle \frac{50}{EO}=\frac{10}{7};
\displaystyle 10EO=350;
\displaystyle EO=35.
Найдем длину отрезка EF=EO+OF=35+9=44.
Ответ: 44.
Источник: ОГЭ 2025. Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ. Ященко И. В. (вариант 11) (Решебник)